Une mathématicienne de l'EPFL reçoit la Médaille Fields

A 37 ans, Maryna Viazovska, titulaire de la Chaire d’arithmétique à l’EPFL, décroche la récompense suprême : la Médaille Fields est souvent considérée comme le Prix Nobel des mathématiques (discipline que l’Académie suédoise ne prime pas). Maryna Viazovska, après Maryam Mirzakhani en 2014, est la deuxième femme à recevoir la prestigieuse distinction sur plus de 60 mathématiciens récompensés à ce jour. La Médaille, créée en 1936, est décernée tous les quatre ans à des mathématiciens de moins de 40 ans. La distinction est remise à Maryna Viazovska lors du Congrès international de mathématiques qui s’ouvre aujourd’hui à Helsinki.

La Médaille Fields récompense la résolution par la jeune professeure, spécialiste de la théorie des nombres, du problème de l’empilement des sphères dans les dimensions 8 et 24. La question de l’empilement optimal de sphères avec un minimum de vide entre elles – tel que dans une pyramide d’oranges – occupe les mathématiciens depuis déjà plus de quatre siècles. C’est en 1611 précisément que Johannes Kepler a suggéré, sans toutefois le prouver, que dans un espace en trois dimensions, c’est la forme pyramidale qui est optimale. Ce n’est toutefois qu’en 1998 que la preuve mathématique a pu en être donnée.

Il était temps de passer aux autres dimensions. «La difficulté est que si le problème est formulé de la même façon, chaque dimension est différente et les solutions optimales dépendent beaucoup de la dimension», avance la mathématicienne. Pourquoi s’intéresser aux dimensions 8 et 24 ? «Parce que les solutions y sont particulièrement belles et que ce sont des dimensions spéciales», répond la chercheuse. Les empilements de sphères s’y font de façon remarquablement symétrique, suivant des réseaux respectivement appelés réseau E8 et réseau de Leech. Il y a plus de dix ans, les travaux de Henry Cohn (MIT / Microsoft Research) et Noam Elkies (Harvard) avaient établi que ces empilements étaient proches de la perfection (au milliardième de pour cent près) mais sans pouvoir le prouver de manière définitive. Ce que fera Maryna Viazovska en démontrant de manière magistrale que les empilements le long de ces deux réseaux atteignaient la perfection.

«Mais comment le prouver?» s’est naturellement interrogée Maryna Viazovska. Sa démonstration présuppose l’existence d’une fonction auxiliaire capable de donner la réponse exacte correspondant aux densités de E8 et du réseau de Leech. Pour construire cette fonction, la jeune chercheuse procède en puisant dans d’autres domaines mathématiques, ce qui fait selon les spécialistes toute l’originalité et la beauté de sa démonstration. En effet, suivant sa créativité et son intuition, elle a été chercher l’aide des «formes modulaires», le sujet de sa thèse. Les formes modulaires sont des fonctions mathématiques qui possèdent des symétries particulières. Après deux ans d’efforts, elle a découvert la bonne fonction.

Optimalité universelle
Ses travaux sont présentés en mars 2016 : la démonstration prend 23 pages, parfaitement limpides pour les arithméticiens. Dans la foulée, Henry Cohn la félicite et lui suggère d’étendre la méthode à la dimension 24. Une semaine plus tard, Maryna Viazovska, Henry Cohn et deux autres collègues mettent en ligne un théorème démontrant la perfection de l’empilement issu du réseau de Leech pour un univers de dimension 24, confirmant ainsi la profondeur de son idée initiale en dimension 8.

Cette démonstration suscite une vague d’enthousiasme dans la communauté mathématique et lui vaut plusieurs distinctions prestigieuses.
Aujourd’hui, la professeure travaille toujours sur les dimensions 8 et 24, approfondissant la question de l’empilement des sphères. Comme elle le dit elle-même, «ces configurations apparaissent dans d’autres problèmes d’optimisation. Il semble qu’on ne les y retrouve pas seulement pour empiler des sphères, mais en matière de dépense d’énergie par exemple. Ce qui est une situation assez inhabituelle.» Elle vient justement de démontrer que E8 et le réseau de Leech ont une propriété «d’optimalité universelle»: ce sont les meilleures configurations possibles pour un ensemble continu de problèmes naturels. On sait depuis longtemps que la question de l’empilement des sphères joue un rôle clef dans la théorie de l’information et des codes correcteurs d’erreur. Par ses nouveaux développements, la recherche de Maryna Viazovska pourrait un jour aider à résoudre de nombreux autres problèmes du quotidien.

Une passion précoce
La carrière de la jeune mathématicienne, née à Kyiv en Ukraine le 2 décembre 1984, a été précoce et passionnée. Comment en est-elle venue aux maths? Tout simplement: «J’aime les mathématiques depuis l’école. Cela m’a toujours semblé la matière la plus claire. Et comme j’aimais cela, je passais plus de temps dessus, donc je suis devenue meilleure en maths qu’en d’autres matières. Donc je les aimais encore davantage et… ainsi de suite.»
Après un Bachelor à l’Université nationale Taras Shevchenko de Kyiv, elle poursuit son Master en Allemagne, à l’Université de Kaiserslautern (2007), avant de rejoindre celle de Bonn. Là, elle obtient son doctorat en 2013, sur les formes modulaires. Entre-temps, elle est devenue maman. «Les mathématiques pures c’est un peu comme le texte d’un livre qui comporte des illustrations. Les images sont liées au texte, mais ne correspondent pas exactement à ce qu’on lit.» Dans cet univers abstrait de concepts, elle se passionne tant pour la recherche de solutions – «c’est comme faire un puzzle» – que pour comprendre les choses «afin de les relier à d’autres problèmes et trouver des applications.»

Depuis 6 ans à l’EPFL
C’est au cours de ses recherches postdoctorales à la Berlin Mathematical School et à l'Université Humboldt de Berlin qu’elle empoigne et résout la question de l’empilement sphérique dans la huitième et la vingt-quatrième dimension. En décembre 2016, elle choisit de rejoindre l’EPFL, en tant que professeure assistante tenure-track. A peine un an plus tard, âgée tout juste de 33 ans, elle est nommée professeure ordinaire. «J’y apprécie particulièrement qu’il n’y ait pas seulement des mathématiques pures, mais aussi beaucoup de gens qui travaillent dans des domaines très appliqués.»

La présence de la chercheuse à l’EPFL est un atout pour une double raison: «Maryna était déjà une excellente chercheuse lorsqu’elle nous a rejoint il y a 6 ans, se félicite Martin Vetterli. Mais ce qui est fantastique pour nous, c’est de voir à quel point elle a pu s’épanouir dans notre Institut de mathématiques, dans la vie duquel Maryna est très engagée. Nous sommes en train de construire un lieu d’excellence, notamment avec le centre Bernoulli qui rayonne à l’international en mêlant mathématiques, physique et informatique théorique. Je félicite non seulement Maryna, mais également toute l’équipe qui a su créer cet écosystème dynamique.»

L’EPFL félicite également Hugo Duminil-Copin, professeur à la Section de mathématiques de l’UNIGE, lui aussi lauréat de la Médaille Fields. Cette double reconnaissance récompense l’excellence de l’Arc lémanique dans les Sciences de base.

Prix et distinctions reçus par Maryna Viazovska:
Prix Salem (2016)
Clay Research Award (2017)
SASTRA Ramanujan Prize (2017)
European Prize in Combinatorics (2017)
New Horizons in Mathematics Prize (2018)
Prix Fermat (2019)
Prize of the European Mathematical Society (2020)
Médaille Fields (2022)