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Maths : Cartographie d'un point fixe

© Alain Herzog

© Alain Herzog

Pendant près de cinquante ans les mathématiciens se sont cassé les dents sur un théorème dit du point fixe. Une équipe basée à l’EPFL a trouvé une solution élégante qui tient en une page et ouvre de nouvelles perspectives.

Prenez une carte du monde. Posez-la sur le gazon de Central Park à New York, contre les rochers de l’Everest ou sur la table de votre cuisine : il y aura toujours un point de la carte qui sera superposé exactement au lieu qu’il représente dans la réalité. Une évidence ? Pas pour les mathématiciens : un théorème plus complexe, dit du « point fixe », leur résistait depuis 1963. « Certaines idées semblent immédiates pour l’esprit humain, mais impliquent en réalité des concepts plus compliqués et difficiles à démontrer pour les mathématiques », explique Nicolas Monod de la Chaire de théorie ergodique et géométrique des groupes. Pourtant, la solution était là, simple et élégante. Pour y parvenir, l’équipe de mathématiciens est sortie des sentiers battus. Leur découverte intéresse bien sûr leurs confrères, mais aussi à plus long terme les physiciens et les économistes.

Penser en dehors de la carte

Plus surprenant, ce théorème fonctionne aussi pour toutes sortes de cartes, que ce soit un plan de métro ou encore les espaces utilisés en physique quantique. Pour le démontrer, il faut donc trouver un point fixe pour chaque cas. Les types de cartes possibles étant infinis, les mathématiciens cherchaient une méthode universelle, purement mathématique, qui fonctionne dans toutes les situations.

Le défi des mathématiciens était de trouver un point fixe. Un peu comme s’il s’agissait d’élaborer une méthode qui permet de toujours déterminer un centre de gravité pour n’importe quel objet, réel ou purement mathématique. L’exercice semblait impossible pour les spécialistes. « C’est pourquoi cette piste n’avait pas été plus explorée que ça », explique Nicolas Monod. « C’est en réfléchissant à un autre espace et en échangeant nos idées que nous nous sommes rendus compte que nous pouvions malgré tout trouver un centre de gravité. » Il était possible de le déterminer dans un espace parallèle. Le centre de gravité apparaissait bel et bien… mais en dehors de l’espace de départ. Un résultat contre-intuitif, mais qui a permis de démontrer le théorème.

Une page se tourne

Aujourd’hui, la démonstration tient en quelques pages. En 2008, une publication d’une trentaine de pages très technique s’approchait de la preuve. Une ironie du sort d’autant plus grande quand on sait que Barry Edward Johnson, qui a formulé ce théorème, a progressé vers sa démonstration sans jamais parvenir au but jusqu’à sa mort en 2002. Au-delà de la satisfaction intellectuelle, ce travail ouvre de nouvelles perspectives à long terme. Les points fixes sont des notions utilisées par les physiciens ou encore par les économistes.

Source :
A fixed point theorem for L1 spaces, U. Bader, T. Gelander, N. Monod, Inventiones Mathematicae, 28 octobre 2011.
http://dx.doi.org/10.1007/s00222-011-0363-2

Lien :
http://egg.epfl.ch/


Auteur: Nicolas Guérin
Source: Mediacom

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