Les nuages: une histoire de structure et de hasard
Illustration d'un champ libre gaussien 2D avec une ligne de contour pour les zéros. Credit: J. Aru, EPFL
Juhan Aru est un nouveau professeur de mathématiques à l'EPFL où il est titulaire de la chaire de géométrie aléatoire. Son travail vise à comprendre les propriétés géométriques des modèles où le hasard et la géométrie se rencontrent.
Le hasard et les structures géométriques interagissent les unes avec les autres dans une pléthore d'exemples réels, telles que des bulles dans de l'eau bouillante ou des flocons de neige. Mais le professeur Juhan Aru, nouveau titulaire de la chaire de géométrie aléatoire de l'EPFL, a trouvé un moyen de relier ses hobbies à son travail dans un autre phénomène quotidien : les nuages.
"Dans le nord, d'où je viens, le ciel d'été est souvent rempli de petits nuages bouffis - des cumulus ", dit-il. "On les voit souvent en Suisse aussi. Un de mes passe-temps favoris a toujours été de m'allonger sur un champ, une plage - et pourquoi pas au sommet d'une montagne ? - et de regarder ces nuages." Juhan Aru se considère chanceux, car son domaine actuel des mathématiques est en fait lié aux nuages.
Le champ sur lequel Juhan Aru travaille est parfois appelé "géométrie aléatoire", où les structures géométriques et le caractère aléatoire interagissent. Si l'on regarde les cumulus, alors une certaine structure - ou géométrie - est claire et apparente à l'œil. Mais malgré tout, le hasard est présent, caché dans la formation des nuages par l'agrégation des molécules d'eau, chacune volant autour du ciel indépendamment, de façon aléatoire, avant de finalement "décider" de contribuer au nuage lui-même.
Les mathématiciens n'ont pas une bonne et satisfaisante description mathématique des cumulus - ou du moins un modèle qui peut décrire et comprendre leurs formes détaillées et belles. Pour l'instant, nous devons travailler sur des choses plus simples, par exemple en nous limitant à deux dimensions - ou comme diraient les mathématiciens, à des "structures planes" - certaines ressemblent encore à des nuages, mais des nuages bidimensionnels.
Juhan Aru et son groupe essaient de comprendre les propriétés mathématiques de ces structures planaires de type "nuage". Leur travail est similaire à celui d'un biologiste, qui taxonomise différentes espèces en les classant et en décrivant leurs propriétés distinctives et communes.
Illustration du tracé de surface d'un champ libre gaussien 2D. Crédit: Juhan Aru, EPFL
L'un des modèles avec lesquels Juhan Aru travaille est appelé le "champ libre gaussien 2D" (2D GFF). Nous pouvons le considérer comme la fonction de hauteur d'un paysage montagneux, comme les Alpes.
"J'essaie de comprendre les sommets, les vallées et les lignes de niveau de ce paysage ", dit Juhan Aru. "Il s'avère que le GFF 2D a de nombreuses connexions avec des modèles de physique statistique, des théories de champs quantiques, des théories simplifiées de la gravité quantique, et aussi avec ce qu'on appelle le « mouvement brownien ». Le mouvement brownien est un modèle probabiliste utilisé en mathématiques pour décrire le mouvement aléatoire des particules. "Les particules qui se déplacent par erreur sont comme des molécules d'eau dans le ciel d'été ", explique Aru. "Donc, au moins pour moi, le GFF est aussi lié aux nuages.
Au cours des dernières années, des progrès remarquables ont été réalisés dans ce domaine, et maintenant Juhan Aru et ses collègues ont pu comprendre d'autres aspects du GFF 2D. "Pourtant, le travail est loin d'être terminé," dit Juhan Aru. En effet, de nombreuses connexions du GFF sont encore en cours de découverte. Par exemple, à l'heure actuelle, nous ne disposons d'aucun moyen mathématique pour étudier les questions géométriques en trois dimensions ; et pourtant, les nuages sont tridimensionnels. Les questions sont donc difficiles, et l'inspiration est importante - alors je vais souvent me promener, m'allonger et regarder le ciel !"
Le champ libre gaussien (GFF) est une fonction de hauteur aléatoire. Il est différent à chaque fois que vous le regardez, mais il y a quand même certaines propriétés géométriques qui sont (presque) toujours vraies. Par conséquent, lorsque nous étudions un GFF 2D, nous sommes intéressés par la description de ses propriétés statistiques. En collaboration avec des co-auteurs, la Chaire de Géométrie Aléatoire a étudié de telles propriétés.
La difficulté est que le GFF 2D fluctue tellement que vous ne pouvez lui assigner une valeur à aucun moment - mathématiquement parlant, à n’importe quel point la hauteur aléatoire a une variance infinie. On ne peut alors se poser des questions que sur les moyennes de la hauteur autour de n'importe quel point. Mathématiquement, cela signifie que le GFF 2D ne peut être décrit que comme une fonction aléatoire généralisée, comme une distribution aléatoire de Schwartz, ce qui rend l'étude des propriétés géométriques plus difficile - comment donner un sens par exemple aux lignes de contour, quand la fonction hauteur n'a pas de valeurs ponctuelles?
Néanmoins, il y a une quinzaine d'années, Oded Schramm et Scott Sheffield ont trouvé un moyen de décrire les lignes de niveau de la GFF 2D et depuis lors, des progrès considérables ont été réalisés dans ce domaine. Une partie des progrès a consisté à donner un sens à une plus grande variété de notions géométriques, par exemple, les excursions hors des lignes de niveau.
Une autre partie des progrès a été liée aux nombreuses applications du GFF : il aide à construire des modèles 2D simplifiés de gravité quantique, appelés gravité quantique de Liouville, et à mieux comprendre les processus d'évolution de Schramm-Loewner - une famille de courbes aléatoires qui décrit la géométrie de nombreux modèles physiques statistiques, par exemple ceux de polymères aléatoires longs.