Finaliste Prix EPFL de doctorats 2018 – Pham Van Thang

Le célèbre problème des distances distinctes d'Erdos demande le nombre minimum de distances distinctes déterminées par un ensemble fini de points dans le plan sur les nombres réels. En 1946, Erdos a prouvé que tout ensemble de N points dans le plan couvre au moins N ^ {1/2} distances distinctes. Il a également montré que le réseau entier carré [N ^ {1/2}] x [N ^ {1/2}] détermine ~ N / log N distances distinctes. Cela conduit à la conjecture que tout ensemble de N points dans le plan couvre au moins ~ N / log N distances distinctes. De nombreuses améliorations sur le seuil N ^ {1/2} sont apparues sur 64 ans. En 2010, la conjecture a été résolue par Guth et Katz en utilisant des méthodes algébriques. Plus précisément, ils ont prouvé que le nombre de distances distinctes déterminées par tout ensemble de N points est au moins égal à CN / log N pour une constante positive C. Dans cette thèse, nous étudions les extensions de ce problème.